fisika dan hukumnya

Fisika

Termodinamika Mesin

Fisika (Bahasa Yunani: φυσικός (physikos), "alamiah", dan φύσις (physis), "Alam") adalah sains atau ilmu tentang alam dalam makna yang terluas. Fisika mempelajari gejala alam yang tidak hidup atau materi dalam lingkup ruang dan waktu. Fisikawan mempelajari perilaku dan sifat materi dalam bidang yang sangat beragam, mulai dari partikel submikroskopis yang membentuk segala materi (fisika partikel) hingga perilaku materi alam semesta sebagai satu kesatuan kosmos.

Beberapa sifat yang dipelajari dalam fisika merupakan sifat yang ada dalam semua sistem materi yang ada, seperti hukum kekekalan energi. Sifat semacam ini sering disebut sebagai hukum fisika. Fisika sering disebut sebagai "ilmu paling mendasar", karena setiap ilmu alam lainnya (biologi, kimia, geologi, dan lain-lain) mempelajari jenis sistem materi tertentu yang mematuhi hukum fisika. Misalnya, kimia adalah ilmu tentang molekul dan zat kimia yang dibentuknya. Sifat suatu zat kimia ditentukan oleh sifat molekul yang membentuknya, yang dapat dijelaskan oleh ilmu fisika seperti mekanika kuantum, termodinamika, dan elektromagnetika.

Fisika juga berkaitan erat dengan matematika. Teori fisika banyak dinyatakan dalam notasi matematis, dan matematika yang digunakan biasanya lebih rumit daripada matematika yang digunakan dalam bidang sains lainnya. Perbedaan antara fisika dan matematika adalah: fisika berkaitan dengan pemerian dunia material, sedangkan matematika berkaitan dengan pola-pola abstrak yang tak selalu berhubungan dengan dunia material. Namun, perbedaan ini tidak selalu tampak jelas. Ada wilayah luas penelitan yang beririsan antara fisika dan matematika, yakni fisika matematis, yang mengembangkan struktur matematis bagi teori-teori fisika.

Sekilas tentang riset Fisika

Fisika teoretis dan eksperimental

Budaya penelitian fisika berbeda dengan ilmu lainnya karena adanya pemisahan teori dan eksperimen. Sejak abad kedua puluh, kebanyakan fisikawan perseorangan mengkhususkan diri meneliti dalam fisika teoretis atau fisika eksperimental saja, dan pada abad kedua puluh, sedikit saja yang berhasil dalam kedua bidang tersebut. Sebaliknya, hampir semua teoris dalam biologi dan kimia juga merupakan eksperimentalis yang sukses.

Gampangnya, teoris berusaha mengembangkan teori yang dapat menjelaskan hasil eksperimen yang telah dicoba dan dapat memperkirakan hasil eksperimen yang akan datang. Sementara itu, eksperimentalis menyusun dan melaksanakan eksperimen untuk menguji perkiraan teoretis. Meskipun teori dan eksperimen dikembangkan secara terpisah, mereka saling bergantung. Kemajuan dalam fisika biasanya muncul ketika eksperimentalis membuat penemuan yang tak dapat dijelaska teori yang ada, sehingga mengharuskan dirumuskannya teori-teori baru. Tanpa eksperimen, penelitian teoretis sering berjalan ke arah yang salah; salah satu contohnya adalah teori-M, teori populer dalam fisika energi-tinggi, karena eksperimen untuk mengujinya belum pernah disusun.

Teori fisika utama

Meskipun fisika membahas beraneka ragam sistem, ada beberapa teori yang digunakan secara keseluruhan dalam fisika, bukan di satu bidang saja. Setiap teori ini diyakini benar adanya, dalam wilayah kesahihan tertentu. Contohnya, teori mekanika klasik dapat menjelaskan pergerakan benda dengan tepat, asalkan benda ini lebih besar daripada atom dan bergerak dengan kecepatan jauh lebih lambat daripada kecepatan cahaya. Teori-teori ini masih terus diteliti; contohnya, aspek mengagumkan dari mekanika klasik yang dikenal sebagai teori chaos ditemukan pada abad kedua puluh, tiga abad setelah dirumuskan oleh Isaac Newton. Namun, hanya sedikit fisikawan yang menganggap teori-teori dasar ini menyimpang. Oleh karena itu, teori-teori tersebut digunakan sebagai dasar penelitian menuju topik yang lebih khusus, dan semua pelaku fisika, apa pun spesialisasinya, diharapkan memahami teori-teori tersebut.

Teori	Subtopik utama	Konsep
Mekanika klasik	Hukum gerak Newton, Mekanika Lagrangian, Mekanika Hamiltonian, Teori chaos, Dinamika fluida, Mekanika kontinuum	Dimensi, Ruang, Waktu, Gerak, Panjang, Kecepatan, Massa, Momentum, Gaya, Energi, Momentum sudut, Torsi, Hukum kekekalan, Oscilator harmonis, Gelombang, Usaha, Daya
Elektromagnetik	Elektrostatik, Listrik, Magnetisitas, Persamaan Maxwell	Muatan listrik, Arus, Medan listrik, Medan magnet, Medan elektromagnetik, Radiasi elektromagnetis, Monopol magnetik
Termodinamika dan Mekanika statistik	Mesin panas, Teori kinetis	Konstanta Boltzmann, Entropi, Energi bebas, Panas, Fungsi partisi, Suhu
Mekanika kuantum	Path integral formulation, Persamaan Schrödinger, Teori medan kuantum	Hamiltonian, Partikel identik Konstanta Planck, Pengikatan kuantum, Oscilator harmonik kuantum, Fungsi gelombang, Energi titik-nol
Teori relativitas	Relativitas khusus, Relativitas umum	Prinsip ekuivalensi, Empat-momentum, Kerangka referensi, Waktu-ruang, Kecepatan cahaya

Bidang utama dalam fisika

Riset dalam fisika dibagi beberapa bidang yang mempelajari aspek yang berbeda dari dunia materi. Fisika benda kondensi, diperkirakan sebagai bidang fisika terbesar, mempelajari properti benda besar, seperti benda padat dan cairan yang kita temui setiap hari, yang berasal dari properti dan interaksi mutual dari atom. Bidang Fisika atomik, molekul, dan optik berhadapan dengan individual atom dan molekul, dan cara mereka menyerap dan mengeluarkan cahaya. Bidang Fisika partikel, juga dikenal sebagai "Fisika energi-tinggi", mempelajari properti partikel super kecil yang jauh lebih kecil dari atom, termasuk partikel dasar yang membentuk benda lainnya. Terakhir, bidang Astrofisika menerapkan hukum fisika untuk menjelaskan fenomena astronomi, berkisar dari matahari dan objek lainnya dalam tata surya ke jagad raya secara keseluruhan.

Bidang	Sub-bidang	Teori utama	Konsep
Astrofisika	Kosmologi, Ilmu planet, Fisika plasma	Big Bang, Inflasi kosmik, Relativitas umum, Hukum gravitasi universal	Lubang hitam, Latar belakang radiasi kosmik, Galaksi, Gravitasi, Radiasi Gravitasi, Planet, Tata surya, Bintang
Fisika atomik, molekul, dan optik	Fisika atom, Fisika molekul, Optik, Photonik	Optik quantum	Difraksi, Radiasi elektromagnetik, Laser, Polarisasi, Garis spectral
Fisika partikel	Fisika akselerator, Fisika nuklir	Model standar, Teori penyatuan besar, teori-M	Gaya Fundamental (gravitasi, elektromagnetik, lemah, kuat), Partikel elemen, Antimatter, Putar, Pengereman simetri spontan, Teori keseluruhan Energi vakum
Fisika benda kondensi	Fisika benda padat, Fisika material, Fisika polimer, Material butiran	Teori BCS, Gelombang Bloch, Gas Fermi, Cairan Fermi, Teori banyak-tubuh	Fase (gas, cair, padat, Kondensat Bose-Einstein, superkonduktor, superfluid), Konduksi listrik, Magnetism, Pengorganisasian sendiri, Putar, Pengereman simetri spontan

Bidang yang berhubungan

Ada banyak area riset yang mencampur fisika dengan bidang lainnya. Contohnya, bidang biofisika yang mengkhususkan ke peranan prinsip fisika dalam sistem biologi, dan bidang kimia kuantum yang mempelajari bagaimana teori kuantum mekanik memberi peningkatan terhadap sifat kimia dari atom dan molekul. Beberapa didata di bawah:

Akustik - Astronomi - Biofisika - Fisika penghitungan - Elektronik - Teknik - Geofisika - Ilmu material - Fisika matematika - Fisika medis - Kimia Fisika - Dinamika kendaraan

Teori palsu

Fusi dingin - Teori gravitasi dinamik - Luminiferous aether - Energi orgone - Teori bentuk tetap

Sejarah

Artikel utama: Sejarah fisika. Lihat juga Fisikawan terkenal dan Penghargaan Nobel dalam Fisika.

Sejak jaman purbakala, orang telah mencoba untuk mengerti sifat dari benda: mengapa objek yang tidak ditopang jatuh ke tanah, mengapa material yang berbeda memiliki properti yang berbeda, dan seterusnya. Lainnya adalah sifat dari jagad raya, seperti bentuk Bumi dan sifat dari objek celestial seperti Matahari dan Bulan.

Beberapa teori diusulkan dan banyak yang salah. Teori tersebut banyak tergantung dari istilah filosofi, dan tidak pernah dipastikan oleh eksperimen sistematik seperti yang populer sekarang ini. Ada pengecualian dan anakronisme: contohnya, pemikir Yunani Archimedes menurunkan banyak deskripsi kuantitatif yang benar dari mekanik dan hidrostatik.

Pada awal abad 17, Galileo membuka penggunaan eksperimen untuk memastikan kebenaran teori fisika, yang merupakan kunci dari metode sains. Galileo memformulasikan dan berhasil mengetes beberapa hasil dari dinamika mekanik, terutama Hukum Inert. Pada 1687, Isaac Newton menerbitkan Filosofi Natural Prinsip Matematika, memberikan penjelasan yang jelas dan teori fisika yang sukses: Hukum gerak Newton, yang merupakan sumber dari mekanika klasik; dan Hukum Gravitasi Newton, yang menjelaskan gaya dasar gravitasi. Kedua teori ini cocok dalam eksperimen. Prinsipia juga memasukan beberapa teori dalam dinamika fluid. Mekanika klasik dikembangkan besar-besaran oleh Joseph-Louis de Lagrange, William Rowan Hamilton, dan lainnya, yang menciptakan formula, prinsip, dan hasil baru. Hukum Gravitas memulai bidang astrofisika, yang menggambarkan fenomena astronomi menggunakan teori fisika.

Dari sejak abad 18 dan seterusnya, termodinamika dikembangkan oleh Robert Boyle, Thomas Young, dan banyak lainnya. Pada 1733, Daniel Bernoulli menggunakan argumen statistika dalam mekanika klasik untuk menurunkan hasil termodinamika, memulai bidang mekanika statistik. Pada 1798, Benjamin Thompson mempertunjukkan konversi kerja mekanika ke dalam panas, dan pada 1847 James Joule menyatakan hukum konservasi energi, dalam bentuk panasa juga dalam energi mekanika.

Sifat listrik dan magnetisme dipelajari oleh Michael Faraday, George Ohm, dan lainnya. Pada 1855, James Clerk Maxwell menyatukan kedua fenomena menjadi satu teori elektromagnetisme, dijelaskan oleh persamaan Maxwell. Perkiraan dari teori ini adalah cahaya adalah gelombang elektromagnetik.

Arah masa depan

Artikel utama: masalah tak terpecahkan dalam fisika

Riset fisika mengalami kemajuan konstan dalam banyak bidang, dan masih akan tetap begitu jauh di masa depan.

Dalam fisika benda kondensi, masalah teoritis tak terpecahkan terbesar adalah penjelasan superkonduktivitas suhu-tinggi. Banyak usaha dilakukan untuk membuat spintronik dan komputer kuantum bekerja.

Dalam fisika partikel, potongan pertama dari bukti eksperimen untuk fisika di luar Model Standar telah mulai menghasilkan. Yang paling terkenal adalah penunjukan bahwa neutrino memiliki massa bukan-nol. Hasil eksperimen ini nampaknya telah menyelesaikan masalah solar neutrino yang telah berdiri-lama dalam fisika matahari. Fisika neutrino besar merupakan area riset eksperimen dan teori yang aktif. Dalam beberapa tahun ke depan, pemercepat partikel akan mulai meneliti skala energi dalam jangkauan TeV, yang di mana para eksperimentalis berharap untuk menemukan bukti untuk Higgs boson dan partikel supersimetri.

Para teori juga mencoba untuk menyatikan mekanika kuantum dan relativitas umum menjadi satu teori gravitasi kuantum, sebuah program yang telah berjalan selama setengah abad, dan masih belum menghasilkan buah. Kandidat atas berikutnya adalah Teori-M, teori superstring, dan gravitasi kuantum loop.

Banyak fenomena astronomikal dan kosmologikal belum dijelaskan secara memuaskan, termasuk keberadaan sinar kosmik energi ultra-tinggi, asimetri baryon, pemercepatan alam semesta dan percepatan putaran anomali galaksi.

Meskipun banyak kemajuan telah dibuat dalam energi-tinggi, kuantum, dan fisika astronomikal, banyak fenomena sehari-hari lainnya, menyangkut sistem kompleks, chaos, atau turbulens masih dimengerti sedikit saja. Masalah rumit yang sepertinya dapat dipecahkan oleh aplikasi pandai dari dinamika dan mekanika, seperti pembentukan tumpukan pasir, "node" dalam air "trickling", teori katastrof, atau pengurutan-sendiri dalam koleksi heterogen yang bergetar masih tak terpecahkan. Fenomena rumit ini telah menerima perhatian yang semakin banyak sejak 1970-an untuk beberapa alasan, tidak lain dikarenakan kurangnya metode matematika modern dan komputer yang dapat menghitung sistem kompleks untuk dapat dimodelin dengan cara baru. Hubungan antar disiplin dari fisika kompleks juga telah meningkat, seperti dalam pelajaran turbulens dalam aerodinamika atau pengamatan pola pembentukan dalam sistem biologi. Pada 1932,

Hukum fisika

Hukum fisika ialah generalisasi ilmiah berdasarkan pada observasi empiris. Hukum alam ialah kesimpulan yang diambil dari, atau hipotesis yang ditegaskan oleh eksperimen ilmiah. Penciptaan deskripsi ringkas alam dalam bentuk sejumlah hukum ialah tujuan fundamental sains. Sesungguhnya, hukum fisika dapat berlaku karena kehendak Tuhan.

Deskripsi

Beberapa sifat umum hukum fisika telah dikenali (lihat Davies (1992) dan Feynman (1965) sebagaimana yang diamati, walau masing-masing karakterisasi tak perlu asli dari mereka). Hukum fisika itu:

• benar. Dengan definisi, takkan pernah ada pengamatan kontradiktif yang berulang.
• universal. Mereka muncul untuk penerapan di manapun di alam. (Davies)
• sederhana. Mereka khas ditunjukkan dalam istilah persamaan matematika sederhana. (Davies)
• mutlak (Davies)
• kekal. Tak berubah sejak pertama kali ditemukan (meski barangkali telah diperlihatkan untuk menjadi perkiraan dari hukum yang lebih akurat—lihat "hukum sebagai perkiraan" berikut), muncul dan tak berubah sejak awal semesta. (Davies)
• secara umum konservatif dari kuantitas. (Feynman)
• sering dicontohkan simetri. (Feynman)
• khas secara teoretis berbalik dalam waktu (jika non-kuantum), walau waktu sendiri tak dapat berulang. (Feynman)

Sering, yang mengeri matematika dan konsepnya dengan baik cukup mengerti esensi hukum fisika juga merasa bahwa memilikikecemerlangan intyelektual yang menjadi sifatnya. Banyak ilmuwan menetapkan bahwa mereka menggunakan persepsinya dari kecemerlangan itu sebagai petunjuk mengembangkan hipotesis, sejak memandang menghubungkan antara kecemerlangan dan kebenaran.

Hukum fisika berbeda dari teori ilmiah dengan kesederhanaannya. Teori ilmiah memiliki banyak persamaan sifat sebagai hukum, namun umumnya lebih kompleks daripada hukum; mempunyai banyak komponen bagian, dan lebih mungkin berubah sebagai kumpulan data percobaan yang tersedia dan pengembangan analisis.

Contoh

Artikel utama: Daftar hukum sains. Lihat pula: hukum ilmiah yang dinamai menurut orang

Beberapa hukum yang lebih terkenal ditemukan dalam teori (kini) mekanika klasik Isaac Newton, ada dalam bukunya Principia Mathematica, dan teori relativitas Albert Einstein. Contoh hukum alam lain termasuk hukum Boyle pada gas, hukum Ohm, 4 hukum termodinamika, dll.

Hukum sebagai perkiraan

Di luar komunitas ilmiah, sering dianggap bahwa hukum alam telah dibuktikan melalui keraguan, dalam cara yang sama bahwa teorema matematika dapat dibuktikan. Bagaimanapun, tak begitu juga. Persis bahwa tiada hal pernah terlihat di mana secara terulang dilanggar. Selalu mungkin untuknya untuk dibuat tak berlaku dengan pengulangan, bukti percobaan yang bertentangan, tiap yang akan terlihat. Bagaimanapun, perubahan fundamental pada hukum tak mungkin besar-besaran, sejak ini akan menyatakan perubahan secara tak langsung pada susunan dasar semesta, yang akan hampir pasti membuatnya dengan segera tak dapat didiami; Jika hukum berubah, kita takkan di sini untuk mengamati.

Hukum yang berkedudukan kokoh telah sungguh dibuat tak berlaku dalam beberapa kasus khusus, namun formulasi baru yang diciptakan untuk menjelaskan ketidakcocokan dapat dikatakan menyamaratakan pada, daripada penggulingan, aslinya. Hukum yang tak berlaku itu telah ditemukan untuk menjadi satu-satunya perkiraan akhir, pada yang istilah atau faktor lain harus ditambahkan untuk menutupi yang sebelumnya tak terhitung-untuk syarat, contoh, skala waktu atau ruang yang lebih besar atau lebih kecil, kecepatan atau massa yang besar, dsb. Jadi, daripada pengetahuan yang tak berubah, sebenarnya hukum fisika lebih baik dipandang sebagai rangkaian memperbaiki perkiraan.

Contoh yang banyak diketahui ialah bahwa hukum gravitasi Newton: saat menggambarkan dunia secara akurat untuk pengamatan most pertinent, seperti gerakan obyek astronomi dalam tata surya, ditemukan tak sama saat diterapkan pada semata-mata massa atau kecepatan besar. Teori relativitas umum Einstein, bagaimanapun, secara akurat memegang interaksi gravitasi pada keadaan ekstrem itu, di samping jajaran yang dicakup hukum Newton. Rumus Newton untuk gravitasi masih digunakan dalam banyak keadaan, sebagai perkiraan yang lebih mudah untuk memperhitungkan dari hukum gravitasi. Hubungan yang mirip ada antara persamaan Maxwell dan teori elektrodinamika kuantum; ada beberapa kasus. Ini memberi kesan pertanyaan (tak terjawab) apakah ada hukum fisika yang akhirnya benar, atau apakah semuanya masih meneliti di mana panca indera dan perlengkapan rasional kita telah menghasilkan secara matematis perkiraan sederhana, benar dalam jajaran pengalaman manusia, pada rumus yang benar yang tak dapat diperoleh.

Keperluan, asal, dan keberadaan

Jika semesta chaos, keberadaan kehidupan sebagaimana yang diketahui takkan mungkin, sejak kerumitan yang diatur ialah ciri-ciri hidup yang tetap. Hukum alam menciptakan urutan di alam semesta, dan berakibat dalam lingkungan stabil secara umum yang, menurut asas antropis, ialah permisif hidup, termasuk kemanusiaan. Bagaimanapun, darimana hukum alam berasal dan ada, dan mengapa merupakan dari bentuk utama yang mereka, tak diketahui, dan dalam bidang metafisika.

Terkadang telah dikesankan bahwa hukum alam tidak nyata—bahwa seluruhnya merupakan penemuan akal manusia, mencoba membuat pandangan semesta. Secara kuat ini disangkal oleh kemanjuran sains yang spektakuler—kekuatannya untuk memecahkan sebaliknya masalah rumit, dan membuat perkiraan akurat—dan dengan fakta bahwa hukum yang baru ditemukan secara khusus telah memberi kesan keberadaan fenomena yang tak diketahui sebelumnya, yang saat itu telah dinyatakan ada.

Arti, dan kemasyhuran penemu

Karena pengertian yang mereka bolehkan tentang alam keberadaan kita, dan karena kekuatan lebih dari yang disebutkan untuk pemecahan dan perkiraan masalah, penemuan hukum alam dianggap di antara usaha kemanusiaan intelektual terbesar. Karena seluk beluk mereka, secara khas penemuan mereka telah memerlukan kekuatan pengamatan dan wawasan luar biasa, dan secara khas penemuan mereka dianggap di antara yang terbaik dan tercerah oleh yang lainnya di bidang mereka dan, khususnya dalam kasus Newton dan Einstein, dalam khayalak ramai juga.

Bidang lain

Beberapa teorema dan aksioma matematika dirujuk pada seperti hukum. Lambang matematika berbeda dari hukum fisika dalam yang mereka tak memiliki dasar empiris yang eksplisit.

Contoh fenomena lain yang diamati sering digambarkan sebagai hukum termasuk hukum Titius-Bode tentang posisi planet, hukum Zipf pada linguistik, hukum Moore pada perkembangan teknologi. Banyak dari hukum itu jatuh dalam bidang sains yang tak enak. Hukum lain bersifat pragmatis dan observasional, seperti hukum akibat yang tak diharapkan. Dengan analogi, asas di bidang studi lain terkadang dengan longgar dirujuk pada sebagai "hukum". Ini termasuk pisau cukur Occam sebagai asas filsafat dan asas Pareto pada ekonomi.

Matematika dan Pengertianya

Matematika

Matematika secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka'. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:

• Is Mathematics Beautiful?
• Do We Need Mathematics?

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmatika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang 'sulit'?

Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmatika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Matematika sebagai bahasa

Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan "Telu", sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan "Tiga". Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

Ikhtisar dan sejarah matematika

Untuk lebih jelasnya lihat pada artikel sejarah matematika .

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

Topik dalam matematika

daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.

Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.

• Kuantitas

Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.

Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam

• Perubahan

Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.

Aritmatika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi

• Struktur

Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.

Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan

• Ruang

Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.

Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal

• Matematika diskrit

Topik dalam matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.

Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan

• Matematika terapan

Bidang-bidang dalam matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.

Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik

• Konjektur dan teori-teori yang terkenal

Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.

Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing

• Teori dan konjektur penting

Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.

Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet

• Dasar dan metode

Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.

Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan – Daftar simbol matematika

• Sejarah dunia para matematikawan

Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender

• Matematika dan bidang lainnya

Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik

• Kejadian Kebetulan Matematika

Daftar Kejadian Kebetulan Matematika

• Peralatan Matematika

Dulu:

• Abacus
• Tulang Napier, Jangka sorong
• Penggaris dan Kompas
• Perhitungan biasa

Sekarang:

• Kalkulator dan komputer
• Bahasa pemrograman
• Sistem komputer aljabar (listing)
• Notasi sederhana Internet
• Analisis statistik software
  • SPSS
  • SAS
  • R

Kutipan

Menurut metode aksiomatik, di mana sifat-sifat tertentu (sebaliknya tak dikenal) struktur diambil dan kemudian secara logis akibat dari itu kenudian secara logika diturunkan, Bertrand Russell berkata:

"Matematika dapat didefinisikan sebagai subyek yang mana kita tidak pernah tau tentang apa yang sedang kita bicarakan, maupun apa yang tidak kita katakan benar".

Mungkin ini menjelaskan mengapa John von Neumann berkata suatu kali:

"Dalam matematika Anda takkan memahami hal. Anda benar-benar mengambilnya dulu".

Tentang indahnya matematika, Bertrand Russell berkata dalam Study of Mathematics:

"Matematika, sudah sepantasnya dipandang, tak hanya memiliki kebenaran, namun keindahan tertinggi – dingin dan cermat yang bagus, seperti pahatan itu, tanpa menarik setiap bagian sifat lemah kita, tanpa hiasan indah lukisan atau musik, masih murni sama sekali, dan kemampuan kesempurnaan keras seperti hanya seni terbesar dapat mempertunjukkan. Jiwa kesenangan yang sesungguhnya, keagungan, arti badan lebih daripada manusia, yang merupakan batu ujian keunggulan tertinggi, untuk ditemukan dalam matematika seperti tentu saja puisi".

Menguraikan simetri antara aspek penciptaan dan logika matematika, W.S. Anglin mengamati, dalam Mathematics and History:

"Matematika bukanlah gerakan turun hati-hati jalan raya yang bebas, namun perjalanan dalam hutan belantara yang asing, di mana penjelajah sering kehilangan. Kekerasan akan menjadi tanda untuk sejarawan yang mana peta telah dibuat, dan penjelajah sesungguhnya telah pergi ke tempat lain".

Fakta penting: "Matematika bukan..."

Matematika bukan numerologi. Walau numerologi memakai aritmatika modular untuk mengurangi nama dan data pada bilangan digit tunggal, numerologi secara berubah memberikan emosi atau ciri pada bilangan tanpa mengacaukan untuk membuktikan penetapan dalam gaya logika. Matematika ialah mengenai gagasan pembuktian atau penyangkalan dalam gaya logika, namun numerologi tidak. Interaksi antara secara berubah emosi penentuan bilangan secara intuitif diperkirakan daripada yang telah diperhitungkan secara seksama.

Matematika bukan akuntansi. Meskipun perhitungan aritmetika sangat krusial dalam pekerjaan akuntansi, utamanya keduanya mengenai pembuktian yang mana perhitungan benar melalui sistem pemeriksaan ulang. Pembuktian atau penyangkalan hipotesis amat penting bagi matematikawan, namun tak sebanyak akuntan. Kelanjutan dalam matematika abstrak menyimpang pada akuntansi jika penemuan tak dapat diterapkan pada pembuktian efisiensi tata buku konkret.

Matematika bukan sains, karena kebenaran dalam matematika tidak memerlukan pengamatan empiris

Matematika bukan fisika, karena fisika adalah sains.

Bibliografi

• Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
• Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. Pengenalan lemah lembut pada dunia matematika.
• Gullberg, Jan, Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Peninjauan luas matematika yang bersifat ensiklopedis yang disajikan secara jelas, bahasa sederhana.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Versi terjemahan dan pengembangan ensiklopedi matematika Uni Soviet, dalam 10 (mahal) jilid, pekerjaan terlengkap dan berwenang yang tersedia. Juga pada buku sampul tipis dan CD-ROM.
• Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973);

Kalkulus dan sejarahnya

Kalkulus

Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang artinya "batu kecil) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang sains dan teknik dan digunakan untu memecahkan masalah yang kompleks yang mana aljabar tidak cukup untuk menyelesaikannnya. Kalkulus memiliki dua cabang utama, diferensial kalkulus dan integral kalkulus, yang berhubungan dengan teorema fundamental kalkulus

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Perkembangan

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno beberapa pemikiran tentang integral kalkulus telah muncul, namun tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas, fungsi utama dari integral kalkulus, bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM), yang mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid^[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh, menciptakan heuristik yang menyerupai integral kalkulus.^[2]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.^[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II di abad ke-12 mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".^[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus untuk menghitung hasil jumlah pangkat empat, dan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral, yang sangat penting terhadap perkembangan integral kalkulus.^[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam diferensial kalkulus. ^[6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor^[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.^[8][9][10]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari Teorema Fundamental Kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang Ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika dan Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi antara matematikawan mana yang pantas untuk diberikan kredit terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, namun Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton mengklaim bahwa Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang mana Newton sering meminjamkannya kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan kredit mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions"

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern, dan matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus..^[11]

Signifikasi

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan modern kalkulus dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi dari diferensial kalkulus meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimisasi. Aplikasi dari integral kalkulus meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih detail mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, matematikawan dan filsuf berusaha untuk memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret tak terhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Prinsip-prinsip

Limit and Kecil Tak Terhingga

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini yang mana dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain infinitesimal(kecil tak terhingga) tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi inifintesimal.

Pada abad ke-19, konsep infinitesimal digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

Turunan

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Artikel utama: Turunan

Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grapfik.

Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit dari konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasu matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.

.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka tunurnan dari fungsi itu adalah laju perubahan dimana fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi tersebut adalah linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

.

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukan garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.

Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x² pada titik (3,9) adalah

Integral

Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang salaing berhubungan, integral tak tentu dan integral tertentu.

Integral tak tentu adalah anti derivatif , kebalikan dari turunan. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F.

Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberika luas antar grafik dan sumbu x.

Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu

Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih maju. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Kosep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.

Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b.

Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir.

Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.

Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral tertentu ditulis sebagai

dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x."

Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:

.

Oleh karena turunan dari fungsi y = x² + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),

.

Teorema Fundamental

Teorema Fundamental Kalkulus

Teorema fundamental kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema fundamental kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema fundamental kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Aplikasi

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, dan di bidang-bidang lainnya.

Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.

Referesi

Sumber

1. ^ Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore. See
2. ^ Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. ^ Aryabhata the Elder
4. ^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
5. ^ Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.
6. ^ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
7. ^ Madhava. Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. URL diakses pada 2006-09-13.
8. ^ An overview of Indian mathematics. Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. URL diakses pada 2006-07-07.
9. ^ Science and technology in free India. Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. URL diakses pada 2006-07-09.
10. ^ Charles Whish (1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
11. ^ UNESCO-World Data on Education [[1]]

Daftar Pustaka

• Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 9781891389245
• James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 9780534393212

Animal

Animals are a major group of multicellular organisms, of the kingdom Animalia or Metazoa. Their body plan becomes fixed as they develop, usually early on in their development as embryos, although some undergo a process of metamorphosis later on in their life. Most animals are motile - can move spontaneously and independently.

Etymology

The word "animal" comes from the Latin word animal, of which animalia is the plural, and is derived from anima, meaning vital breath or soul. In everyday colloquial usage, the word usually refers to non-human animals. The biological definition of the word refers to all members of the Kingdom Animalia. Therefore, when the word "animal" is used in a biological context, humans are included.

Characteristics

Animals have several characteristics that set them apart from other living things. Animals are eukaryotic and usually multicellular^[1] (although see Myxozoa), which separates them from bacteria and most protists. They are heterotrophic,^[2] generally digesting food in an internal chamber, which separates them from plants and algae. They are also distinguished from plants, algae, and fungi by lacking cell walls.^[3] All animals are motile,^[4] if only at certain life stages. Embryos pass through a blastula stage, which is a characteristic exclusive to animals.

Structure

With a few exceptions, most notably the sponges (Phylum Porifera), animals have bodies differentiated into separate tissues. These include muscles, which are able to contract and control locomotion, and nerve tissue, which sends and processes signals. There is also typically an internal digestive chamber, with one or two openings. Animals with this sort of organization are called metazoans, or eumetazoans when the former is used for animals in general.

All animals have eukaryotic cells, surrounded by a characteristic extracellular matrix composed of collagen and elastic glycoproteins. This may be calcified to form structures like shells, bones, and spicules. During development it forms a relatively flexible framework upon which cells can move about and be reorganized, making complex structures possible. In contrast, other multicellular organisms like plants and fungi have cells held in place by cell walls, and so develop by progressive growth. Also, unique to animal cells are the following intercellular junctions: tight junctions, gap junctions, and desmosomes.

Reproduction and development

Nearly all animals undergo some form of sexual reproduction. Adults are diploid or polyploid. They have a few specialized reproductive cells, which undergo meiosis to produce smaller motile spermatozoa or larger non-motile ova. These fuse to form zygotes, which develop into new individuals.

Many animals are also capable of asexual reproduction. This may take place through parthenogenesis, where fertile eggs are produced without mating, or in some cases through fragmentation.

A zygote initially develops into a hollow sphere, called a blastula, which undergoes rearrangement and differentiation. In sponges, blastula larvae swim to a new location and develop into a new sponge. In most other groups, the blastula undergoes more complicated rearrangement. It first invaginates to form a gastrula with a digestive chamber, and two separate germ layers - an external ectoderm and an internal endoderm. In most cases, a mesoderm also develops between them. These germ layers then differentiate to form tissues and organs.

Most animals grow by indirectly using the energy of sunlight. Plants use this energy to convert sunlight into simple sugars using a process known as photosynthesis. Starting with the molecules carbon dioxide (CO₂) and water (H₂O), photosynthesis converts the energy of sunlight into chemical energy stored in the bonds of glucose (C₆H₁₂O₆) and releases oxygen (O₂). These sugars are then used as the building blocks which allow the plant to grow. When animals eat these plants (or eat other animals which have eaten plants), the sugars produced by the plant are used by the animal. They are either used directly to help the animal grow, or broken down, releasing stored solar energy, and giving the animal the energy required for motion. This process is known as glycolysis.

Animals who live close to hydrothermal vents and cold seeps on the ocean floor are not dependent on the energy of sunlight. Instead, chemosynthetic archaea and eubacteria form the base of the food chain.

Origin and fossil record

Animals are generally considered to have evolved from a flagellated eukaryote. Their closest known living relatives are the choanoflagellates, collared flagellates that have a morphology similar to the choanocytes of certain sponges. Molecular studies place animals in a supergroup called the opisthokonts, which also include the choanoflagellates, fungi and a few small parasitic protists. The name comes from the posterior location of the flagellum in motile cells, such as most animal spermatozoa, whereas other eukaryotes tend to have anterior flagella.

The first fossils that might represent animals appear towards the end of the Precambrian, around 575 million years ago, and are known as the Ediacaran or Vendian biota. These are difficult to relate to later fossils, however. Some may represent precursors of modern phyla, but they may be separate groups, and it is possible they are not really animals at all. Aside from them, most known animal phyla make a more or less simultaneous appearance during the Cambrian period, about 542 million years ago. It is still disputed whether this event, called the Cambrian explosion, represents a rapid divergence between different groups or a change in conditions that made fossilization possible.

Groups of animals

The sponges (Porifera) diverged from other animals early. As mentioned above, they lack the complex organization found in most other phyla. Their cells are differentiated, but in most cases not organized into distinct tissues. Sponges are sessile and typically feed by drawing in water through pores. Archaeocyatha, which have fused skeletons, may represent sponges or a separate phylum.

Among the eumetazoan phyla, two are radially symmetric and have digestive chambers with a single opening, which serves as both the mouth and the anus. These are the Cnidaria, which include sea anemones, corals, and jellyfish, and the Ctenophora or comb jellies. Both have distinct tissues, but they are not organized into organs. There are only two main germ layers, the ectoderm and endoderm, with only scattered cells between them. As such, these animals are sometimes called diploblastic. The tiny Placozoans are similar, but they do not have a permanent digestive chamber.

The remaining animals form a monophyletic group called the Bilateria. For the most part, they are bilaterally symmetric, and often have a specialized head with feeding and sensory organs. The body is triploblastic, i.e. all three germ layers are well-developed, and tissues form distinct organs. The digestive chamber has two openings, a mouth and an anus, and there is also an internal body cavity called a coelom or pseudocoelom. There are exceptions to each of these characteristics, however - for instance adult echinoderms are radially symmetric, and certain parasitic worms have extremely simplified body structures.

Genetic studies have considerably changed our understanding of the relationships within the Bilateria. Most appear to belong to four major lineages:

1. Deuterostomes
2. Ecdysozoa
3. Platyzoa
4. Lophotrochozoa

In addition to these, there are a few small groups of bilaterians with relatively similar structure that appear to have diverged before these major groups. These include the Acoelomorpha, Rhombozoa, and Orthonectida. The Myxozoa, single-celled parasites that were originally considered Protozoa, are now believed to have developed from the Bilateria as well.

Deuterostomes

Superb Fairy-wren, Malurus cyaneus

Deuterostomes differ from the other Bilateria, called protostomes, in several ways. In both cases there is a complete digestive tract. However, in protostomes the initial opening (the archenteron) develops into the mouth, and an anus forms separately. In deuterostomes this is reversed. In most protostomes cells simply fill in the interior of the gastrula to form the mesoderm, called schizocoelous development, but in deuterostomes it forms through invagination of the endoderm, called enterocoelic pouching. Deuterostomes also have a dorsal, rather than a ventral, nerve chord and their embryos undergo different cleavage.

All this suggests the deuterostomes and protostomes are separate, monophyletic lineages. The main phyla of deuterostomes are the Echinodermata and Chordata. The former are radially symmetric and exclusively marine, such as starfish, sea urchins, and sea cucumbers. The latter are dominated by the vertebrates, animals with backbones. These include fish, amphibians, reptiles, birds, and mammals.

In addition to these, the deuterostomes also include the Hemichordata or acorn worms. Although they are not especially prominent today, the important fossil graptolites may belong to this group.

The Chaetognatha or arrow worms may also be deuterostomes, but more recent studies suggest protostome affinities.

Ecdysozoa

Yellow-winged Darter, Sympetrum flaveolum

The Ecdysozoa are protostomes, named after the common trait of growth by moulting or ecdysis. The largest animal phylum belongs here, the Arthropoda, including insects, spiders, crabs, and their kin. All these organisms have a body divided into repeating segments, typically with paired appendages. Two smaller phyla, the Onychophora and Tardigrada, are close relatives of the arthropods and share these traits.

The ecdysozoans also include the Nematoda or roundworms, the second largest animal phylum. Roundworms are typically microscopic, and occur in nearly every environment where there is water. A number are important parasites. Smaller phyla related to them are the Nematomorpha or horsehair worms, which are invisible to the unaided eye, and the Kinorhyncha, Priapulida, and Loricifera. These groups have a reduced coelom, called a pseudocoelom.

The remaining two groups of protostomes are sometimes grouped together as the Spiralia, since in both embryos develop with spiral cleavage.

Platyzoa

Bedford's flatworm, Pseudobiceros bedfordi

The Platyzoa include the phylum Platyhelminthes, the flatworms. These were originally considered some of the most primitive Bilateria, but it now appears they developed from more complex ancestors.

A number of parasites are included in this group, such as the flukes and tapeworms. Flatworms lack a coelom, as do their closest relatives, the microscopic Gastrotricha.

The other platyzoan phyla are microscopic and pseudocoelomate. The most prominent are the Rotifera or rotifers, which are common in aqueous environments. They also include the Acanthocephala or spiny-headed worms, the Gnathostomulida, Micrognathozoa, and possibly the Cycliophora. These groups share the presence of complex jaws, from which they are called the Gnathifera.

Lophotrochozoa

Roman snail, Helix pomatia

The Lophotrochozoa include two of the most successful animal phyla, the Mollusca and Annelida. The former includes animals such as snails, clams, and squids, and the latter comprises the segmented worms, such as earthworms and leeches. These two groups have long been considered close relatives because of the common presence of trochophore larvae, but the annelids were considered closer to the arthropods, because they are both segmented. Now this is generally considered convergent evolution, owing to many morphological and genetic differences between the two phyla.

The Lophotrochozoa also include the Nemertea or ribbon worms, the Sipuncula, and several phyla that have a fan of cilia around the mouth, called a lophophore. These were traditionally grouped together as the lophophorates, but it now appears they are paraphyletic, some closer to the Nemertea and some to the Mollusca and Annelida. They include the Brachiopoda or lamp shells, which are prominent in the fossil record, the Entoprocta, the Phoronida, and possibly the Bryozoa or moss animals.

Model organisms

Because of the great diversity found in animals, it is more economical for scientists around the world concert their efforts on a small number of chosen species so that connections can be drawn from their work and conclusions extrapolated about how animals function in general. Because they are easy to keep and breed, the fruit fly Drosophila melanogaster and the nematode Caenorhabditis elegans have long been the most intensively studied metazoan model organism, and among the first lifeforms to be genetically sequenced. This was facilitated by the severely reduced state of their genomes, but the double-edged sword here is that with many genes, introns and linkages lost, these ecdysozoans can teach us little about the origins of animals in general. The extent of this type of evolution within the superphylum will be revealed by the crustacean, annelid, and molluscan genome projects currently in progress. Analysis of the starlet sea anemone genome has emphasised the importance of sponges, placozoans, and choanoflagellates, also being sequenced, in explaining the arrival of 1500 ancestral genes unique to the Eumetazoa.^[5]

An analyse of the homoscleromorph sponge Oscarella carmela also suggests that the last common ancestor of sponges and the eumetazoan animals were more comlex than previously assumed. ^[6]

Other model organisms belonging to the animal family include mouse (Mus musculus) and zebrafish (Danio rerio}.